10 + 10 + 10 = 30

TlCK MÌNH ĐI! A

Cho tam giác ABC.Kẻ AH vuông góc với BC.Trên tia đối của tia AH lấy D sao cho AH = AD.Lấy trung điểm E của HC .Gọi F là giao điểm của AC và DE.CHứng minh : a. AF = 1/3AC b. H,F và trung điểm M của DC thẳng hàng c. HF = 1/3DC

= 1300

MN giúp mình với mình cần gấp

Xét tứ giác ABDC có

F là trung điểm chung của AD và BC

Do đó: ABDC là hình bình hành

=>BD=AC(1)

Xét ΔCAK có

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó: ΔCAK cân tại C

=>CA=CK(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD=AC=CK

Bài 1:

a)

Ta có: AD=AH(gt)

mà D,A,H thẳng hàng

nên A là trung điểm của DH

Xét ΔDHC có

CA là đường trung tuyến ứng với cạnh DH(A là trung điểm của DH)

DE là đường trung tuyến ứng với cạnh CH(E là trung điểm của CH)

CA\(\cap\)AE={F}

Do đó: F là trọng tâm của ΔDHC(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

⇒\(CF=\frac{2}{3}AC\)

Ta có: CF+AF=AC(F nằm giữa A và C)

\(\Leftrightarrow AF=AC-CF=AC-\frac{2}{3}AC=\frac{1}{3}AC\)(đpcm)

b) Ta có: F là trọng tâm của ΔDHC(cmt)

⇔HF là đường trung tuyến ứng với cạnh DC của ΔDHC

mà HM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC của ΔDHC(M là trung điểm của DC)

và HM và HF có điểm chung là H

nên H,F,M thẳng hàng(đpcm)

c) Xét ΔHCD vuông tại H có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD(M là trung điểm của CD)

nên \(HM=\frac{1}{2}CD\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)

Ta có: HM là đường trung tuyến ứng với cạnh CD của ΔHCD(M là trung điểm của CD) và F là trọng tâm của ΔCHD(cmt)

nên \(HF=\frac{2}{3}HM\)

hay \(HM=\frac{3}{2}\cdot HF\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{3}{2}\cdot HF=\frac{1}{2}\cdot CD\)

\(\Leftrightarrow HF=\frac{1}{2}\cdot CD:\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot CD\)(đpcm)

Bài 2:

a) Xét ΔDBC có

DI là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(I là trung điểm của BC)

DI là đường cao ứng với cạnh BC(Đường trung trực của BC cắt AC tại D)

Do đó: ΔDBC cân tại D(Định lí tam giác cân)

⇒DB=DC(3)

Ta có: AD=AE(gt)

mà D,A,E thẳng hàng

nên A là trung điểm của DE

Xét ΔBDE có

BA là đường trung tuyến ứng với cạnh DE(A là trung điểm của DE)

BA là đường cao ứng với cạnh DE(BA⊥AD, E∈AD)

Do đó: ΔBDE cân tại B(Định lí tam giác cân)

⇒BD=BE(4)

Từ (3) và (4) suy ra CD=BE(đpcm)

b) Ta có: \(\widehat{BDE}\) là góc ngoài đỉnh D của ΔBDC(\(\widehat{BDE}\) và \(\widehat{BDC}\) là hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\widehat{BDE}=\widehat{C}+\widehat{DBC}\)(Định lí góc ngoài của tam giác)

mà \(\widehat{C}=\widehat{DBC}\)(hai góc ở đáy của ΔDBC cân tại D)

nên \(\widehat{BDE}=2\cdot\widehat{BCE}\)

mà \(\widehat{BDE}=\widehat{BEC}\)(hai góc ở đáy của ΔBDE cân tại B)

nên \(\widehat{BEC}=2\cdot\widehat{BCE}\)(đpcm)

c) Trên tia đối của tia IA lấy điểm G sao cho IA=IG

Xét ΔAIB và ΔGIC có

AI=GI(theo cách vẽ)

\(\widehat{AIB}=\widehat{GIC}\)(hai góc đối đỉnh)

IB=IC(I là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAIB=ΔGIC(c-g-c)

⇒AB=CG(hai cạnh tương ứng)

Ta có: ΔAIB=ΔGIC(cmt)

⇒\(\widehat{ABI}=\widehat{GCI}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{ABI}\) và \(\widehat{GCI}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CG(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Ta có: AB//CG(cmt)

AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)

Do đó: CG⊥AC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔABC vuông tại A và ΔCGA vuông tại C có

AC chung

AB=CG(cmt)

Do đó: ΔABC=ΔCGA(hai cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{BCA}=\widehat{GAC}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{BCE}=\widehat{GAC}\)

Ta có: \(\widehat{BEC}=2\cdot\widehat{BCE}\)(cmt)

mà \(\widehat{BCE}=\widehat{GAC}\)(cmt)

nên \(\widehat{BEC}=2\cdot\widehat{GAC}\)

mà \(\widehat{GAC}=\widehat{EAF}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{BEC}=2\cdot\widehat{EAF}\)(5)

Ta có: \(\widehat{BEC}\) là góc ngoài tại đỉnh E của ΔAEF(\(\widehat{BEC}\) và \(\widehat{FEA}\) là hai góc kề bù)

nên \(\widehat{BEC}=\widehat{EAF}+\widehat{EFA}\)(Định lí góc ngoài của tam giác)(6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat{EAF}+\widehat{EFA}=2\cdot\widehat{EAF}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EFA}=2\cdot\widehat{EAF}-\widehat{EAF}\)

hay \(\widehat{EFA}=\widehat{EAF}\)

Xét ΔEAF có \(\widehat{EFA}=\widehat{EAF}\)(cmt)

nên ΔEAF cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

d) Ta có: \(\frac{AC}{BF}=\frac{AD+DC}{BE+EF}=\frac{AE+BD}{BD+EA}=1\)

nên AC=BF(đpcm)